My 備忘録

goo blog閉鎖に伴い引っ越してきました

レジスタンスとリアクタンスが直列のときのインピーダンスの求め方(gemini

diy

レジスタンスとリアクタンスが直列のときのインピーダンスの求め方(gemini

 

>

抵抗（レジスタンス $R$）とリアクタンス（$X$）が直列につながっている場合、それらを単純に足し算することはできません。なぜなら、先ほど説明した通り「位相（タイミング）」がずれているからです。

インピーダンス（$Z$）を求めるには、直角三角形を用いた幾何学的な計算が必要になります。

1. インピーダンスの計算式

抵抗 $R$ とリアクタンス $X$ が直列のとき、合成抵抗であるインピーダンス $Z$ は以下の式で求められます。

$$Z = \sqrt{R^2 + X^2} \quad [\Omega]$$

これは、底辺が $R$、高さが $X$ の直角三角形の斜辺の長さを求めるピタゴラスの定理と同じ形です。

誘導性回路（$R$ とコイル $L$）の場合

$$Z = \sqrt{R^2 + (2\pi f L)^2}$$

容量性回路（$R$ とコンデンサ $C$）の場合

$$Z = \sqrt{R^2 + \left(\frac{1}{2\pi f C}\right)^2}$$

2. なぜ単純に足せないのか？（ベクトル図）

交流回路では、電圧のかかるタイミングが異なります。

  • 抵抗 $R$: 電圧と電流が同じタイミング（同位相）。

  • リアクタンス $X$: 電圧と電流が90度ずれる。

この「向きの違い」を視覚化したのがインピーダンスベクトル図です。

方向 成分 役割
横軸（実数部） 抵抗 ($R$) 熱としてエネルギーを消費する成分
縦軸（虚数部） リアクタンス ($X$) エネルギーを蓄えるだけで消費しない成分
斜め（合成） インピーダンス ($Z$) 回路全体の電流の妨げやすさ

3. 複素数による表現（専門的な書き方）

電気回路の計算では、この「90度のズレ」を数学の虚数 $j$ を使って表すのが一般的です。

$$Z = R + jX$$

  • コイルの場合：$Z = R + jX_L$

  • コンデンサの場合：$Z = R - jX_C$（コンデンサは位相を逆方向にずらすためマイナスがつきます）

この式の「大きさ（絶対値）」を計算すると、最初に紹介した $\sqrt{R^2 + X^2}$ になります。

まとめ：計算のステップ

  1. 各素子の値をオーム [$\Omega$] に直す（$L$ や $C$ を周波数からリアクタンスに計算）。

  2. $R$ と $X$ をそれぞれ 2乗する。

  3. 足してルートをとる。

[注意]

もしコイルとコンデンサが両方直列に入っている場合は、先にリアクタンス同士を引き算し（$X = X_L - X_C$）、その結果を $R$ と合成します。

 

■並列のときは

 

>

交流の並列回路におけるインピーダンス（$Z$）の計算は、直列のときよりも少し複雑になります。なぜなら、「各枝に流れる電流」をベクトルで合成して、最後に全体の電圧を割るという手順を踏むからです。

並列回路では「アドミタンス（$Y$）」という考え方を使うと、計算がスムーズになります。

1. インピーダンスの計算式

抵抗 $R$ とリアクタンス $X$ が並列の場合、全体のインピーダンス $Z$ は以下の式で求められます。

$$Z = \frac{RX}{\sqrt{R^2 + X^2}} \quad [\Omega]$$

この式は、直並列の合成抵抗の公式（和分の積）に、位相のズレ（平方根）を考慮した形になっています。

2. アドミタンス（$Y$）を使った考え方

直列のときに「抵抗の合計」を考えたように、並列では「電気の通りやすさ」を足し算します。この通りやすさをアドミタンス（$Y$）と呼び、単位はジーメンス［S］を使います。

  • コンダクタンス（$G$）: 抵抗の逆数 $\frac{1}{R}$

  • サセプタンス（$B$）: リアクタンスの逆数 $\frac{1}{X}$

並列回路全体のアドミタンス $Y$ は、以下のようになります。

$$Y = \sqrt{G^2 + B^2} = \sqrt{\left(\frac{1}{R}\right)^2 + \left(\frac{1}{X}\right)^2}$$

そして、最終的なインピーダンス $Z$ は $Y$ の逆数（$Z = \frac{1}{Y}$）として求めます。

3. 具体的な計算例

例えば、抵抗 $R = 4\Omega$ と、コイルのリアクタンス $X_L = 3\Omega$ が並列につながっている場合：

  1. 各枝の逆数を計算:

    $G = \frac{1}{4} = 0.25$

    $B = \frac{1}{3} \approx 0.33$

  2. アドミタンス $Y$ を出す:

    $Y = \sqrt{0.25^2 + 0.33^2} \approx 0.417$

  3. 逆数をとって $Z$ を出す:

    $Z = \frac{1}{0.417} \approx 2.4 \Omega$

（※直列なら $5\Omega$ でしたが、並列にするとそれぞれの値よりも小さくなります）

まとめ：直列と並列の比較

接続方法 計算のイメージ 基本式
直列 電圧をベクトル合成する $Z = \sqrt{R^2 + X^2}$
並列 電流（通りやすさ）をベクトル合成する $\frac{1}{Z} = \sqrt{(\frac{1}{R})^2 + (\frac{1}{X})^2}$

並列回路を解くときは、まず「逆数にしてから二乗して足し、ルートをつけて、最後にまた逆数にする」という流れを意識するとミスが減ります。